Сегмент параболы
и окружность Эйлера
(окружность девяти точек)

Краткое резюме:

Между окружностью Эйлера и параболой существует очень тесная связь.
Любой сегмент параболы, является кривой Безье второго порядка (и наоборот), и может быть задан тремя точками: Start, Control, End. Они и образуют треугольник, окружность девяти точек которого пересекается с директрисой родительской параболы в очень интересных точках...
интерактивная демонстрация

Теорема:

Парабола P задана фокусом F и директрисой d. Отрезок SE является хордой к параболе P. Касательные к параболе P в точках  S и E пересекаются в C. Точка М — середина SE. Точка M_d является пересечением прямой MC и директрисы d. Точка C_d является пересечением директрисы d и перпендикуляра к SE из точки C (fig 1).

Тогда:

1. точки M_d и C_d лежат на окружности Эйлера (окружности 9-ти точек) треугольника SCE;
2. точка C_d делит пополам отрезок, соединяющий точку C и ортоцентр треугольника SCE;
3. точка M_d лежит на линии, соединяющей ортоцентр треугольника SCE и вершину параболы O.
4. нормаль к параболе в точке пересечения с отрезком MM_d проходит через центр окружности Эйлера;
5. на линии FV лежит точка K, являющаяся пересечением параболы и линии HO, а также основание перпендикуляра, опущеного из точки C на SE.

Доказательство:

Повернем чертеж так, чтобы ось параболы была расположена вертикально, и ветви параболы направлены вверх. Введем декартову систему координат, взяв за ось X — директрису  d, за ось Y — ось параболы P.

Отобразим данные нам величины в координатном виде. Координаты фокуса: (0, Fy), уравнение директрисы: y=0, абсциссы точек S и E: Sx и Ex. Вот все параметры, которые задают условия.

Выразим координаты других точек, в соответствии с их определением, через данные величины.

Уравнение параболы:

Уравнение касательной к параболе в точке:

Уравнение нормали к параболе в точке:

Координаты точек S и E:

Координаты точки M:

Координаты точки C найдем из системы уравнений, определяющей точку пересечения касательных:

Координаты точки M_d:

Координаты точки C_d:

Координаты ортоцентра H:

Координаты середин сторон SC и EC:

Построим окружность 9-ти точек. Она определяется серединами сторон треугольника – MM1, M1M2, M2M. Составим систему уравнений для нахождения центра и радиуса окружности:

Находим решение этой системы:

Чтобы проверить принадлежность точки M_d этой окружности, подставим ее координаты в выражение:

и проверим его на тождественность нулю.

Таким образом получаем, что при любом выборе точек Sx и Ex точка M_d будет лежать на окружности 9-ти точек треугольника SCE.

Чтобы проверить принадлежность точки C_d окружности 9-ти точек, также подставим ее координаты в выражение:

и проверим его на тождественность нулю.

Аналогично с предыдущим пунктом, получаем, что при любом выборе точек Sx и Ex точка С_d будет лежать на окружности 9-ти точек треугольника SCE.

Чтобы проверить, что точка C_d делит пополам отрезок, соединяющий точку C и ортоцентр треугольника H, достаточно проверить, что каждая из координат C_d является полусуммой координат C и H:

Так как это выполняется, то утверждение доказано.

Чтобы проверить, что точка M_d лежит на линии, соединяющей ортоцентр треугольника SCE и вершину параболы, достаточно проверить что вектора OM_d и OH коллинеарны:

Как видим, равенство тождественно выполняется, следовательно, утверждение доказано.

Чтобы проверить, что нормаль к параболе в точке пересечения V с отрезком MM_d проходит через центр окружности 9-ти точек N, построим уравнение нормали, и проверим что точка N удовлетворяет ему:

Как видим, получили тождественное равенство, следовательно, утверждение доказано.